27  
Ihosvany Rodríguez González  
Centro Nacional de Biopreparados  
ihosvany@biocen.cu  
Anié Bermudez Peña  
Universidad de las Ciencias Informáticas  
abp@uci.cu  
https://orcid.org/0000-0003-0212-9556  
https://orcid.org/0000-0002-1387-7472  
RECIBIDO 04/09/2020 ● ACEPTADO 10/09/2020 ● PUBLICADO 30/09/2020  
RESUMEN  
La resolución de sistemas triangulares es un núcleo computacional ampliamente utilizado en  
diversas aplicaciones científicas. Esta investigación realiza la implementación y comparación de  
varios algoritmos paralelos frente a un algoritmo secuencial eficiente para la resolución de  
sistemas triangulares. Los algoritmos se distinguen por la forma de particionado de la matriz y la  
asignación a los procesadores. Se realiza el análisis del comportamiento de los algoritmos en la  
solución de sistemas de ecuaciones lineales triangulares superiores en un clúster de  
computadoras. Para ello se tienen en cuenta las métricas de tiempo aritmético, tiempo de  
comunicaciones, aceleración y eficiencia máxima. Se realizaron experimentos para cada algoritmo  
con distintos tamaños de matrices sobre varios procesadores. El algoritmo con mejores resultados  
fue el que divide por bloques las filas de la matriz y aplica una distribución cíclica en el clúster.  
Palabras claves: particionado de matrices, programación paralela, sistema triangular.  
ABSTRACT  
The resolution of triangular systems is a computational nucleus widely used in various scientific  
applications. This research performs the implementation and comparison of several parallel  
algorithms against an efficient sequential algorithm for solving triangular systems. The algorithms  
are distinguished by the way of partitioning the matrix and the allocation to the processors. The  
analysis of the behavior of the algorithms is performed in the solution of systems of linear superior  
triangular equations in a cluster of computers. For this, the arithmetic time, communication time,  
speed-up, and maximum efficiency metrics are taken into account. Experiments were performed  
for each algorithm with different matrix sizes on various processors. The algorithm with the best  
results was the one that blocks the rows of the matrix and applies a cyclical distribution in the  
cluster.  
Keywords: matrix partitioning, parallel programming, triangular system.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
28  
INTRODUCIÓN  
La resolución de sistemas triangulares es un núcleo computacional ampliamente utilizado en  
diversas aplicaciones científicas[1]. Esto se debe a la relación existente entre este tipo de  
sistemas y el desarrollo de sistemas de ecuaciones genéricos. Generalmente, la resolución de un  
sistema de ecuaciones genérico se traduce en la resolución de dos sistemas triangulares una vez  
realizada la triangularización de la matriz [2].  
La computación paralela se ha convertido en uno de los pilares más potentes de las  
computadoras. Para muchos problemas que requieren computación intensiva basta con disponer  
de un conjunto de computadoras conectadas mediante una red. De esta forma se han difundido  
los clústeres de procesadores como herramienta típica para la programación paralela [3].  
El problema que se aborda en esta investigación trata de la resolución de sistemas triangulares.  
Para ello se realiza una comparación detallada de varios algoritmos paralelos frente a un  
determinado algoritmo secuencial eficiente. Los algoritmos paralelos son: Escalar, TRB  
(Triangular Row Block), TRS (Triangular Row Scatter) y TRBS (Triangular Row Block Scatter). Se  
realiza el análisis del comportamiento del algoritmo secuencial y de dichos algoritmos paralelos  
para la solución de sistemas de ecuaciones lineales triangulares superiores en el clúster de  
computadoras con las siguientes características: 4 HP Proliant DL180 G6, con dos procesadores  
Quad Core Intel Xeon serie E5520, 2.26 GHz., memoria RAM 24 GB, DDR3 1066 MHz., 2 puertos  
Gigabit Ethernet, almacenamiento local 60 GB SATA2.  
MARCO TEÓRICO  
En un primer momento es necesario mostrar el algoritmo secuencial eficiente que soluciona los  
nxn  
n
sistemas triangulares. Dada la matriz U , uij=0 si i>j, y b , el algoritmo siguiente resuelve  
el sistema de ecuaciones Ux=b.  
Para j=n-1, n-2,…..,0  
x
j
= b //Resolver  
Para i=0,1,…..,j-1  
= b  
j
/ujj  
b
i
i
-uij  
x
j
//Actualizar  
Fin  
Fin  
Los diferentes algoritmos paralelos para la resolución de sistemas triangulares superiores se  
pueden clasificar en función de las distribuciones de datos realizadas [4]. El primer factor a tener  
en cuenta para realizar la distribución de una matriz (en este caso triangular superior, U) es si  
esta se realiza por filas o por columnas. Es decir, a los diferentes procesadores se les asignará  
un conjunto de filas de la matriz U, o bien un conjunto de columnas de esta. En el desarrollo de  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
29  
este caso de estudio se aplican solo distribuciones por filas, de esta forma se reduce el número  
de las posibles divisiones de la matriz U.  
Distribuciones de datos  
Existen varias formas en que se puede dividir la matriz U por filas, así como asignaciones de  
dichas particiones a los diferentes procesadores. De la adecuada elección del particionado y la  
asignación (distribución de datos) de la matriz U dependerá la eficiencia del algoritmo paralelo  
resultante [5]. Dicha elección debe hacerse atendiendo a dos factores: equilibrado de la carga y  
reducción del coste de comunicación.  
A continuación, se introducen las formas de particionado de la matriz U y posteriormente se  
enumeran las formas en las que se puede realizar la asignación sobre los diferentes procesadores  
de la aplicación paralela.  
Particionado de la matriz [6]  
El particionado por filas de la matriz U puede ser Escalar o por Bloques. En el particionado por  
bloques se divide la matriz de n filas en bloques de filas de tamaño s (con s>=1), mientras que  
en el particionado escalar se consideran tantas divisiones como filas posee la matriz. Por tanto,  
el particionado escalar es el particionado por bloques cuando s=1. En la Figura 1 se muestran los  
dos tipos de particionado de la matriz U[7].  
U
U
1
2
1
2
1
fila  
s filas  
n-1  
n
n/s  
a) particionado escalar  
b) particionado por bloques  
Figura 1. Particionado Escalar y por Bloques de la matriz triangular superior U.  
Asignación a los diferentes procesadores  
La asignación de las particiones a los procesadores p, se denomina por Bloques si el número de  
particiones coincide con el número de procesadores. Mientras que, si el número de particiones es  
mayor que p, la asignación se realiza de forma Cíclica.  
Cuando p<<n el número de distribuciones de datos posibles se reduce a tres. Las características  
de estas tres distribuciones se muestran en la Tabla 1 y la Figura 2.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
30  
Tabla 1. Diferentes distribuciones de la matriz triangular.  
Algoritmo  
Distribución  
Particionado Asignación Notas  
TRB y Escalar Bloques de filas  
Escalar  
Escalar  
Bloques  
Cíclica  
Cíclica  
s=n/p  
s=1  
TRS  
Cíclica por filas  
TRBS  
Cíclica por bloques de filas Bloques  
1<s<n/p  
procs.  
U
U
procs.  
U
procs.  
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
0
1
3
0
1
fila  
s =n/p  
s filas  
<s<n/p  
2
3
s=1  
1
1
2
3
a) Distribución por bloques b) Distribución Cíclica  
c) Distribución Cíclica por bloques  
Figura 2. Diferentes distribuciones de la matriz triangular U sobre cuatro procesadores.  
En la Figura 3 se brinda una visión global de un ejemplo de distribución por bloques de los datos  
en 4 procesadores.  
U
x
b
pr  
U00 U01  
U02 U03  
x0  
b0  
0
1
U11 U12 U13  
x1  
x2  
b1  
b2  
=
U22  
U23  
s =n/p  
2
3
U33  
x3  
b3  
Figura 3. Distribución por bloques de filas del sistema lineal Ux=b entre p=4 procesadores.  
Para completar la distribución de datos del problema de resolver el sistema Ux=b es necesario  
comentar que los vectores b y x quedan distribuidos de igual forma que U.  
Algoritmos paralelos implementados  
En esta sección se realiza una descripción de los cuatro algoritmos paralelos para la resolución  
de sistemas triangulares. Al algoritmo paralelo que utiliza la distribución por bloques se le  
denomina TRB (Triangular Row Block), y si la implementación se hace orientada a elementos sin  
tener en cuenta los bloques se le denomina TRB Escalar. Al algoritmo paralelo que utiliza la  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
31  
distribución Cíclica se le denomina TRS (Triangular Row Scatter) y al que utiliza la distribución  
Cíclica por Bloques se le denomina TRBS (Triangular Block Scatter).  
A continuación, se describen los algoritmos atendiendo a una visión global de las variables del  
problema en los procesadores Ppr  
.
Algoritmo Escalar  
Para j=n-1, n-2, ..., 0  
Si la fila j Ppr (pr=jDIVs)  
Entonces  
xj = bj/ujj  
Difunde xj a P0 P1 ….Ppr-1  
Sino  
Si pr < (jDIVs) Entonces Recibe xj  
Para i=0, 1, ….., j-1  
Si la fila i  
Ppr (pr=iDIVs) Entonces bi = bi-uij*xj  
Fin  
Fin  
Algoritmo TRB  
Para j=p-1, p-2, ..., 0  
Si el bloque j Ppr (pr=j)  
Entonces  
U x = b  
j
jj  
j
RESOLVER  
x j  
Difunde  
a P0 P1 …Ppr-1  
Sino  
x j  
Si pr < j Entonces Recibe  
Para i=0, 1, …, j-1  
b = b −U x  
j
i
i
ij  
Si el bloque i  
Fin  
Ppr (pr=i) Entonces Actualizar  
Fin  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
32  
Algoritmo TRS  
Para j=n-1, n-2, ..., 0  
Si la fila j Ppr (pr=jMODp)  
Entonces  
xj = bj/ujj  
Difunde xj a Pk con k pr  
Sino  
Recibe xj  
Para i=0, 1, …, j-1  
Si la fila i  
Ppr (pr=iMODp) Entonces bi = bi-uij*xj  
Fin  
Fin  
Algoritmo TRBS  
Para j=n/s-1, n/s-2, ..., 0  
Si el bloque j Ppr (pr=jMODp)  
Entonces  
U x = b  
j
jj  
j
Resolver  
Difunde  
x j  
a Pk con k pr  
Sino  
x j  
Recibe  
Para i=0, 1, …, j-1  
b = b −U x  
j
i
i
ij  
Si el bloque i Ppr (pr=iMODp) Entonces actualizar  
Fin  
Fin  
La distribución de datos escogida caracteriza el algoritmo paralelo implementado y, por tanto, las  
prestaciones del mismo. Todas las distribuciones tienen sus ventajas e inconvenientes; la  
distribución por Bloques supone un mal equilibrio de carga, mientras que la distribución Cíclica  
supone un aumento en el tiempo de comunicación [8]. Utilizando la distribución Cíclica por  
Bloques se persigue equilibrar estos dos factores.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
33  
A continuación, en la Tabla 2, se muestra un resumen de las prestaciones de dichos algoritmos,  
atendiendo al tiempo aritmético (t ), tiempo de comunicaciones (t ), speed-up (S o aceleración)  
y eficiencia máxima (E ).  
A
C
p
p
Tabla 2. Prestaciones comparativas de los diferentes algoritmos paralelos.  
Algoritmo t  
A
t
C
S
p
E
p
2
p
1
Escalar  
n + n  
2
n F  
p
2
2
2
1
3
TRB  
n + p  
p
3
n F  
3
p
2
TRS  
n F  
p
n + n  
p
1
n2 F  
p
p
sp  
+
n
1
TRBS  
n
n+  
+
nsF  
sp  
n
s
1+  
1
Se resalta el desequilibrio de carga presente en el TRB y el alto costo de las comunicaciones en  
el TRS y Escalar.  
Esto viene dado porque como cada procesador almacena un bloque de tamaño n/p el de más alto  
índice calcula su bloque envía su información y no hace nada más y así va pasando con el resto.  
No sucede lo mismo en el TRS al estar las filas repartidas cíclicamente. Aquí el equilibrio de carga  
es bueno, pero el tiempo de comunicación es en extremo elevado, ya que es proporcional al  
tamaño del problema.  
EVALUACIÓN Y RESULTADOS  
Se utilizó el lenguaje C para programar los algoritmos. Se implementaron las rutinas para la carga  
de las matrices, las cuales son guardadas en un archivo con sus respectivos vectores filas  
separados por tabulaciones. Para calcular el tiempo estimado consumido por cada algoritmo en  
el cálculo del sistema de ecuaciones se utilizó la función clock del lenguaje C definida en la librería  
time.h. Esta función devuelve la cantidad de tiempo de procesamiento que un programa ha  
utilizado. Es bueno aclarar que en este tiempo no se incluye la carga de los datos, ni el resultado  
que se muestra por pantalla.  
Se utiliza MPI (Message Passing Interface) como API que define la sintaxis y semántica de una  
librería que provee rutinas básicas para construir programas paralelos siguiendo el paradigma de  
paso de mensaje y comunicación por memoria distribuida. Al ser una API, MPI puede usarse  
desde cualquier lenguaje de programación (Fortran, C, C++, Java, Python, etc.). Existen bindings  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
34  
de MPI para varios lenguajes. Su diseño se realizó teniendo en cuenta: eficiencia, potencia de  
comunicación, portabilidad y uso sencillo de topologías. MPI permite estandarizar: rutinas  
globales de comunicación (ej. broadcasting) y rutinas para realizar cálculos globales (ej.  
reduction).  
Evaluación de la red de interconexión del clúster de computadoras  
Se trabajó con un algoritmo que calcula la latencia de la red [9], basado en la técnica ping-pong  
que consiste en la trasmisión de información desde el front-end a los nodos y una vez en estos,  
se trasmite la información desde los nodos al front-end.  
Para obtener la latencia de red, es decir, el retardo provocado por el medio físico se transmitieron  
tramas sin información, de forma que al realizar un control de tiempos (tiempo de inicio - tiempo  
de llegada); se obtenga el retardo provocado por el medio de transmisión utilizado[10].  
Después se utilizó un algoritmo que calcula el ancho de banda de la red, basado en la técnica  
ping-pong, pero con tramas de tamaño de información muy grande de forma que se obtenga el  
ancho de banda absoluto y no relativo. El objetivo en enviar grandes tramas de información sin  
llegar a sobrepasar la tasa máxima de transferencia es obtener el ancho de banda real del medio  
de transmisión.  
Se realizaron pruebas utilizando un algoritmo que calcula el producto vector-matriz. La finalidad  
de este algoritmo es observar la ganancia de tiempo en la resolución de dicho algoritmo según  
se vayan añadiendo nuevos nodos al clúster. Este algoritmo consiste en realizar la multiplicación  
de un vector por una matriz, de forma que cada nodo del clúster se encargue de realizar la  
multiplicación del vector por una parte de la matriz. El método que se ha llevado a cabo para  
partir la matriz ha sido dividir el número de filas entre el número de procesos que se van a  
ejecutar.  
Se demostró que a medida que se utilizan matrices y vectores grandes, el proceso paralelo resulta  
más conveniente que la resolución de dicho algoritmo por el método secuencial.  
La Ecuación 1 muestra el resultado por mínimos cuadrados de la curva obtenida.  
푌 = 8.10−ꢀ + 0.0002  
(1)  
De donde se obtienen los valores de latencia (ß) y costo por paquetes (t) para la red del clúster  
-4  
-8  
utilizado: ß = 2.10 sg, t = 8.10 sg.  
Se realizaron pruebas con 8 procesadores para tener una mejor respuesta de la paralelización,  
se trabajó con cblas y el clapack [11], [12].  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
35  
Evaluación de los algoritmos y análisis de las prestaciones  
En las pruebas se utilizaron 24 sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares  
superiores de la forma Ux=b, estas matrices cuadradas y los vectores incógnitas “x” fueron  
generados con números reales y aleatorios entre 1 y 5000 con dimensiones entre 64 y 2048.  
Además, se ejecutó un programa para calcular los vectores independientes b. Estas matrices  
fueron de orden 64, 128, 256, 512, 1024 y 2048. Además, para cada dimensión se realizaron 4  
sistemas de ecuaciones.  
Se probaron los algoritmos en todas las matrices de pruebas y los tiempos medidos con cada  
grupo de matrices en cada una de las dimensiones fueron promediados y graficados  
respectivamente. Se tuvo en cuenta hacer las corridas con 1 procesador para el algoritmo  
secuencial, mientras que para los algoritmos paralelos se utilizaron 2, 4 y 8 procesadores.  
Análisis del Speed-Up  
El análisis teórico del Speed-Up o aceleración del algoritmo Escalar muestra que este debe  
comportarse entre 1 y p/2, mientras que para el algoritmo TRS es entre 1 y p. En la Figura 4 se  
observa que cuando se mantiene constante el número de procesadores y se hace crecer el tamaño  
de la matriz hay un intervalo en el cual el Speed-Up es prácticamente 1, lo que indica que los  
algoritmos paralelos no tienen ventajas sobre el algoritmo secuencial para matrices de dimensión  
menor que 256.  
Figura 4. Comportamiento del parámetro Speed-Up para los algoritmos con distinta cantidad de  
procesadores.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
36  
Para problemas de tamaños entre 256 y 2048, el comportamiento de los algoritmos difiere en los  
casos de 2 y 4 procesadores. En el caso de 2 procesadores, los algoritmos se comportan de la  
forma esperada, mostrando un incremento del Speed-Up al crecer el tamaño del problema de  
forma tal que los problemas de mayor tamaño son resueltos en menos tiempo por cualquiera de  
los algoritmos paralelos que por el secuencial. Es bueno señalar que el algoritmo TRS se comporta  
ligeramente mejor con valores de Speed-Up algo superiores al algoritmo Escalar.  
Para problemas de tamaño 512 y mayores, el algoritmo Escalar ha alcanzado su mejor valor para  
el caso de 4 procesadores y supera al caso de 2 procesadores, pero para problemas de 1024 y  
2
048 las diferencias de Speed-Up de este algoritmo son poco significativas cuando se comparan  
los casos de 2 y 4 procesadores.  
Para 4 procesadores, el Speed-Up del algoritmo TRS crece a medida que crece el problema,  
mientras que el algoritmo Escalar a partir de un tamaño se mantiene constante. En la  
comparación de los algoritmos, para tamaños de problemas creciente con el número de  
procesadores constantes, el Speed-Up se mantiene en la velocidad 1 para tamaños de problema  
con dimensiones de 64 y 128, tanto con 2 y 4 procesadores. Para tamaño 256, el Speed-Up es  
marcadamente mejor en el algoritmo TRS con 4 procesadores que para el mismo algoritmo con  
2
procesadores y que el algoritmo Escalar con 2 y 4 procesadores. El algoritmo TRS para  
problemas de tamaño 512 y mayores se comporta mejor para el caso de 4 procesadores que para  
2.  
Análisis de la eficiencia  
Otro aspecto de interés a la hora de evaluar un algoritmo paralelo es su eficiencia [13]. Esta nos  
aporta el grado de utilización del sistema. El análisis teórico de los algoritmos muestra que la  
eficiencia del algoritmo Escalar debe estar comprendida entre 1/p y ½ y para el algoritmo TRS  
entre 1/p y 1. En la Figura 5 se observa el comportamiento de la eficiencia de los algoritmos, al  
variar el tamaño del problema con 2 y 4 procesadores. Se parece mucho al análisis del  
comportamiento del Speed-Up[14]. Es notable que los valores de eficiencia calculados para el  
caso de 4 procesadores se ajustan más a los valores teóricos que los obtenidos con 2  
procesadores, porque estos últimos son superiores a los valores esperados.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
37  
Figura 4. Comportamiento de la eficiencia de los algoritmos.  
Al igual que con el Sp, es el algoritmo TRBS [15] el que alcanza una mayor eficiencia.  
Análogamente como sucedía al analizar el desempeño de los algoritmos respecto al Sp, para  
valores pequeños de n la eficiencia de estos es baja. Al aumentar el tamaño del problema, el  
TRBS logra aprovechar mejor los recursos del clúster, no así los otros que se ven lastrados por  
el alto costo de las comunicaciones.  
Finalmente, resalta el desequilibrio de carga presente en el TRB y el alto costo de las  
comunicaciones en el TRS. Esto viene dado porque como cada procesador almacena un bloque  
de tamaño n/p el de más alto índice calcula su bloque, envía su información. No sucede lo mismo  
con TRS, al estar las filas repartidas cíclicamente. El equilibrio de carga es bueno pero el tiempo  
de comunicación es en extremo elevado, ya que es proporcional al tamaño del problema.  
El TRBS trata de mejorar tanto el desequilibrio como el tiempo de comunicación. En este, el  
parámetro β está multiplicado por n/s en lugar de n como en el TRS y por p en el TRB. Es de  
esperar entonces que para valores altos de n el Sp tienda a p sin un aumento tan marcado del  
tiempo de comunicación, el cual también va a depender del tamaño del bloque. TRBS toma lo  
mejor del TRS y el TRB, logrando alcanzar un mejor desempeño al mantener la carga balanceada  
y no muy alto el costo de las comunicaciones.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
38  
CONCLUSIONES  
El resolver de forma eficiente un sistema de ecuaciones, utilizando algoritmos paralelos sobre  
múltiples procesadores, puede aportar grandes ventajas al reducir drásticamente el tiempo  
necesario para computar la solución.  
Como se ha visto con la distribución cíclica por filas y el algoritmo TRS asociado a esta distribución  
los resultados no son nada halagüeños, mucho menos en un clúster con una red de interconexión  
como la empleada para realizar los experimentos con un elevado valor de β.  
El TRB logra disminuir el costo de las comunicaciones ya que n no multiplica a β, esto está dado  
porque cada procesador almacena un bloque de la matriz, pero no es bueno el equilibrio de la  
carga.  
Se aprecia que el algoritmo TRBS, con el aumento de las dimensiones del problema, las  
comunicaciones no se convierten en un obstáculo y la carga entre los distintos procesadores del  
sistema se mantenga equilibrada.  
Con este trabajo se evidencia la relación existente entre la distribución de los datos y la influencia  
de esta, tanto en la aceleración como en la eficiencia que logran los algoritmos, así como el  
equilibrio de carga y reducción de las comunicaciones máximas para lograr el mejor rendimiento.  
REFERENCIAS  
[1] R. Marichal, E. Dufrechou, and P. Ezzatti, “Assessing the solution of one sparse triangular  
linear system on multi-many core platforms,” 2019.  
[2] V. Sonzogni, P. Sanchez, and M. Storti, “Resolución de grandes sistemas de ecuaciones en  
un cluster de computadoras,” Mecánica Computacional, vol. 23, pp. 3211–3227, 2004.  
[3] L. Chuquiguanca, E. Malla, F. Ajila, and R. Guamán, “Arquitectura Clúster de Alto  
Rendimiento Utilizando Herramientas de Software Libre High Performance Cluster Architecture  
Using Free Software Tools,” vol. 2, no. 1, 2015.  
[4] J. L. Bolaño Herazo, “Estudio de rendimiento para la solución de ecuaciones lineales usando  
computación en paralelo,” 2015.  
[5] J. D. Jaramillo, A. M. V. Maciá, and F. J. C. Zabala, “Métodos directos para la solución de  
sistemas de ecuaciones lineales simétricos, indefinidos, dispersos y de gran dimensión,”  
Universidad Eafit, 2006.  
[6] C. Baeza Sanz, “Explotación de una política de partición de datos para aplicaciones  
paralelas,” 2015.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935  
39  
[7] S. Piña, “El impacto de shocks contractivos de política monetaria en un modelo DSGE  
estimado con métodos bayesianos para Chile,” 2016.  
[8] H. L. Bodlaender and T. Hagerup, “Parallel algorithms with optimal speedup for bounded  
treewidth,” SIAM Journal on Computing, vol. 27, no. 6, pp. 1725–1746, 1998.  
[9] C. Gómez Crespo, “Diseño y evaluación de un cluster HPC: aplicaciones,” thesis, Universitat  
Politècnica de Catalunya, 2014.  
[10] P. E. Leibovich, F. Issouribehere, and J. C. Barbero, “Ensayo y comparación de métodos de  
transmisión de sincrofasores sobre redes Ethernet,” in XVIII Encontro Regional Ibero-Americano  
do CIGRE (ERIAC 2019)(Foz do Iguaçu, Brasil, 19 a 23 de maio de 2019), 2019.  
[
11] G. H. A. Salinas and E. M. A. Salinas, “Utilización de CLAPACK para resolver sistemas de  
ecuaciones lineales mediante paralelismo y optimización de memoria,” UNACIENCIA, vol. 2, no.  
, pp. 7–7, 2009.  
3
[12] P. Ezzatti, E. S. Quintana-Ortí, and A. Remón, “Resolución de sistemas triangulares en  
tarjetas Gráficas (gpu),” Mecánica Computacional, vol. 29, no. 30, pp. 3053–3061, 2010.  
[13] M. Hernández, A. A. Del Barrio, and G. Botella, “Clúster de Computación Científica de Bajo  
Coste y Consumo,” 2018.  
[
14] J. B. B. Darmawan and S. Mungkasi, “Parallel computations using a cluster of workstations  
to simulate elasticity problems,” in Journal of Physics: Conference Series, 2016, vol. 776, p.  
12081.  
0
[15] I. S. Silva, L. O. Luz, R. Nepomuceno, and J. C. dos Santos, “Programaçao de processadores  
multi-core: Uma experiência educacional utilizando plataformas didáticas embarcadas em fpga,”  
International Journal in Computer Architecture Education (IJCAE), vol. 3, no. 1, pp. 9–12, 2014.  
REVISTA INNOVACIÓN Y SOFTWARE  
VOL 1 Nº 2 Septiembre - Febrero 2020 ISSN Nº 2708-0935